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本教材面向医学影像学及相关专业本科生及研究生，针对医学影像成像及图像处理等应用实际，对该领域经常用到的数学基础，如线性代数、矩阵论、复变函数与积分变换等内容进行介绍，旨在为医学影像后期课程的学习以及相关科学研究提供必要的数学基础。分为两篇八章，篇线性代数及矩阵论，包括行列式、矩阵及其计算、矩阵的初等变换及线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型；第二篇复变函数与积分变换，包括复数与解析函数、级数、傅里叶变换。

篇　线 性 代 数

章　矩阵的运算与初等变换 /1

节　矩阵 /1

一、 矩阵的概念 /1

二、 常见的特殊矩阵 /2

第二节　矩阵的计算 /3

一、 矩阵的线性运算 /3

二、 矩阵的乘法运算 /6

三、 矩阵的转置 /9

第三节　矩阵的初等变换 /10

一、 线性方程组的基本概念 /10

二、 矩阵的初等变换与初等矩阵 / 11

三、 行阶梯形矩阵与行简形矩阵 /14

第四节　矩阵的逆运算/16

一、 逆矩阵的定义 /16

二、 利用矩阵初等变换判断矩阵是否可逆及求解逆矩阵 /17

第二章　行列式 /22

节　二、三阶行列式 /22

一、 二阶行列式 /22

二、 三阶行列式 /24

第二节　n 阶行列式的定义 /26

一、 排列及其逆序数 /26

二、 n 阶行列式的定义 /27

第三节　行列式的性质/29

第四节　行列式按行（列）展开 /34

第五节　利用行列式求矩阵的逆与矩阵的秩 /39

一、 利用行列式求矩阵的逆 /39

二、 矩阵的秩 /41

第三章　向量组与线性方程组的解/46

节　向量组及其线性组合 /46

一、 向量的概念及运算 /46

二、 向量组及其线性组合与线性表示 /49

第二节　向量组的线性相关性 /53

一、 向量组的线性相关性的概念 /53

二、 向量组的线性相关性的判定 /56

第三节　向量组的秩 /57

一、 无关组 /57

二、 向量组秩的定义 /58

三、 向量组的秩和矩阵的秩的关系 /58

第四节　线性方程组的解 /60

一、 线性方程组解的判定定理 /60

二、 克拉默法则 /65

三、 齐次线性方程组解的结构 /67

四、 非齐次线性方程组解的结构 /69

第四章　向量空间与线性变换 /73

节　向量空间 /73

一、 向量空间的概念 /73

二、 向量空间的基、维数与坐标 /73

第二节　欧式空间 /75

一、 向量的内积 /75

二、 标准正交基 /78

第三节　线性变换 /80

一、 线性变换的概念与性质 /80

二、 线性变换的坐标与矩阵表示 /81

三、 线性变换的几何性质 /86

第五章　相似矩阵及二次型 /90

节　方阵的特征值分解和特征向量 /90

一、 方阵的特征值和特征向量 /90

二、 特征值和特征向量的求法 /91

三、 特征多项式的性质 /93

第二节　相似矩阵与矩阵的对角化/93

一、 相似变换的概念 /94

二、 相似变换的基本性质 /95

三、 相似变换与对角化 /97

第三节　对称矩阵的对角化 /98

一、 对称矩阵的性质 /98

天津医科大学医学影像学院教授、博士生导师。2006年于中国科学院自动化研究所获得博士学位。2006到2014年分别在英国牛津大学和伦敦大学学院从事研究工作。2014年入选天津市青年千人计划，入职天津医科大学。2017年起任天津医科大学医学影像学院副院长。

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书摘插图

前言

《医学影像应用数学》依据现阶段医学影像学专业的人才培养目标，为适应我国医学教育改革需求而编写，是国内本专门为医学影像学专业量身定制的数学教材，供高等院校医学影像学专业本科使用，也可作为其他相关专业学生、教师及临床医师参考使用。

随着近些年医学影像成像技术、影像设备、图像处理、人工智能等技术的高速发展，医学影像学已成为医学领域不可或缺的重要分支，并逐步发展为专业特色强、学科交叉广的一门学科，涉及医、理、工等多领域知识，而数学是这些领域知识交叉融合的基础。因此，掌握相关数学知识是学习医学影像学专业课程的必要前提。然而，国内目前尚缺乏专门针对医学影像学本科专业设计的数学教材，这也使得医学影像学专业数学课的教学面临三个困境：，除高等数学基本知识以外，学生普遍缺乏如线性代数等其他必要的数学基础，使学生在学习医学影像成像原理、医学影像设备学、医学影像图像处理等核心专业课程时对很多重要内容难以理解；第二，脱离医学影像的背景而单纯讲授数学知识使学生无法建立起数学知识与医学影像学之间的联系，学习时不知为何要学，从而丧失学习兴趣和动力；第三，各高校该门课程的授课教师往往是数学专业背景，对医学影像领域缺乏了解，因此，在教学过程中受学时的限制，往往难以恰当地选择与医学影像学为相关的核心数学知识点。而本教材正是基于当前医学影像学专业数学教学所面临的上述现状编写的，教材内容的设计与编写主要基于以下考虑。

首先，高等院校医学影像学专业本科教学均开设有“高等数学”相关课程，因此本教材的内容不包括高等数学基本知识，而是在此基础上，拓展至与医学影像学为相关的线性代数和复变函数两部分的基础知识。从内容编排上，本教材分为两篇，共八章，各章节逻辑关系如下：篇为线性代数，其核心内容是介绍医学图像处理中广泛使用的基础数学工具，首先介绍矩阵这一与医学图像直观对应的数学表示工具（章），再由矩阵求逆及线性方程组求解的重要工具—行列式（第二章）及向量组（第三章），逐渐过渡到图像处理中常见的数学处理方法线性变换（第四章）和奇异值分解（第五章）；第二篇为复变函数与傅里叶变换，其核心内容是介绍在医学影像各模态成像原理、图像重建与后处理中广泛应用的傅里叶变换方法，首先介绍复变函数的基本概念（第六章），再介绍级数这一函数展开的基本工具（第七章），后过渡到傅里叶级数与傅里叶变换（第八章）。

其次，本教材的内容编写着重强调“数学”和“应用”两个方面。本教材首先是一本数学教材，其内容的编排须符合数学知识的严谨性、连贯性和系统性；同时，本教材还将结合所涉及的数学知识点，专门举例说明其在医学影像领域中的应用，使学生能够感受到这些数学工具和数学思维方法在医学影像领域发挥着重要作用，从而带着明确目的去学习相关的数学知识，也为授课教师提供了数学应用于医学影像领域的参考依据。在应用举例中，避免涉及过深的医学影像学专业术语和知识，在语言方面尽可能做到通俗易懂，目的是让学生能更好地感受到数学的实用性。

另外，考虑到本教材使用对象主要为医学院校的本科生，而非数学专业的学生，因此在数学知识的内容安排及文字使用方面，在尽可能保证数学严谨性的同时，力求做到简单易懂。出于此考虑，本教材篇所有概念仅限定在实数域范围内讲解，而只在第二篇的内容讲解时考虑复数域。另外，对于一些过于复杂的定理证明过程，本教材仅给出定理，证明从略。为方便教师授课和学生自学，本书同时配有课件、重难点讲解微课、习题等数字内容，并有配套题库供学生练习及教师测验、考试选用。

在编写过程中，天津医科大学的于春水教授、张雪君教授，以及医学影像学院相关老师对本版教材提出了许多宝贵意见，在此表示衷心感谢。

本书为本教材的第1 版，由于水平和经验有限，教材中或有不当之处，敬请读者批评指正，以期改进。

梁　猛

2022 年1 月

书籍介绍

 本教材面向医学影像学及相关专业本科生及研究生，针对医学影像成像及图像处理等应用实际，对该领域经常用到的数学基础，如线性代数、矩阵论、复变函数与积分变换等内容进行介绍，旨在为医学影像后期课程的学习以及相关科学研究提供必要的数学基础。分为两篇八章，第一篇线性代数及矩阵论，包括行列式、矩阵及其计算、矩阵的初等变换及线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型；第二篇复变函数与积分变换，包括复数与解析函数、级数、傅里叶变换。